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Oct 11, 2023

Un estudiante universitario acaba de resolver un problema matemático notoriamente imposible

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Un matemático puede haber demostrado que lo imposible es posible.

Durante 30 años, los matemáticos se preguntaron si se podía tener un conjunto infinito de números en el que cada par de números sumara un valor único y que esos valores fueran bastante grandes.

En marzo, un estudiante graduado de la Universidad de Oxford finalmente resolvió el problema recurriendo a una solución poco probable: la geometría.

En 1993, el matemático húngaro Paul Erdős, uno de los matemáticos más prolíficos del siglo XX, planteó una pregunta con dos componentes aparentemente opuestos entre sí: ¿Podría un conjunto de Sidón ser una "base asintótica de orden tres?"

Vamos a explicar.

Nombrados en honor a otro matemático húngaro, Simon Sidon, estos conjuntos son básicamente una colección de números donde no hay dos números en el conjunto que sumen el mismo entero. Por ejemplo, en el conjunto de Sidón simple (1, 3, 5, 11), cuando cualquiera de los dos números del conjunto se suman, dan como resultado un número único. Construir un conjunto de Sidón con solo cuatro números es extremadamente fácil, pero a medida que el conjunto aumenta de tamaño, se vuelve más y más difícil. Tan pronto como dos sumas sean iguales, la colección de números ya no se considera un conjunto de Sidón.

El segundo elemento del problema de Erdős, esa parte de "base asintótica de orden tres" que suena aterradora, significa que:

un conjunto debe ser infinitamente grande

cualquier entero lo suficientemente grande se puede escribir como resultado de sumar como máximo 3 números en el conjunto.

Entonces, este acertijo de 30 años se centró en si estos dos elementos podrían existir o no en el mismo conjunto de números. Durante décadas, la respuesta parecía ser no.

Pero en marzo de este año, el estudiante graduado de Oxford Cédric Pilatte publicó una prueba que confirmaba la existencia de tal conjunto de Sidón. Alcanzar ese hito no fue fácil. En 2010, los matemáticos demostraron que un conjunto de Sidón puede ser una base asintótica de orden 5 y, tres años después, demostraron que también es posible que un conjunto de Sidón "sea una base asintótica de orden 4". Pero el "orden 3" siguió siendo esquivo; algunos lo consideraron teóricamente posible pero increíblemente difícil (y potencialmente imposible) de probar.

"Están tirando en direcciones opuestas", dijo Pilatte a Quanta Magazine. "Los conjuntos de Sidón están limitados a ser pequeños, y una base asintótica está limitada a ser grande. No era obvio que pudiera funcionar".

Entonces, ¿cómo consiguió Pilatte que una clavija matemáticamente cuadrada encajara en un agujero aparentemente redondo? Adoptó un enfoque poco convencional y recurrió a la geometría en lugar del método probabilístico defendido por Erdős y lo que se denomina teoría de números aditivos. Pilatte reemplazó los números con polinomios e hizo uso del trabajo reciente de los matemáticos de la Universidad de Columbia. Combinando estas ideas, Pilatte creó con éxito un conjunto de Sidón lo suficientemente denso y aleatorio para finalmente resolver el problema original de Erdős.

El trabajo de Pilatte se basó en los descubrimientos de muchos matemáticos de diferentes disciplinas, e incluso combinó campos de las matemáticas aparentemente no relacionados para responder a la pregunta. "Es genial que estas técnicas tan profundas de la geometría algebraica también se puedan usar para esta pregunta simple y concreta sobre conjuntos de números", dijo Pilatte a Quanta Magazine.

Y con eso, se descubre que otra pregunta matemática "imposible" es muy posible.

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